X

Al usar esta página web, aceptas nuestro uso de cookies. Usamos cookies para ofrecerte una mejor experiencia y para ayudar a que tu página funcione de manera efectiva.

Matemáticas18

Raíz Cuadrada y Raíz Cúbica

Contenido

¿Qué significa obtener la raíz de un número?

Dependiendo del radical de la raíz es posible obtener un número que elevado a la potencia del radical, resultara el número a analizar.

Es común analizar la raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número, pero dependiendo del radical es la raíz que se debe analizar.

Nota: Al no representar un número en el radical se considera como una raíz cuadrada.


Partes de la raíz

La raíz consta de 3 partes básicas:

  • Radicando (a): Es el número del que se quiere conocer la raíz.
  • Radical (n): Es el valor del cual se quiere obtener la raíz, la letra n representa el índice.
  • Raíz (r): Es el resultado de la operación.
na = r

La raíz de un número es proporcional a elevar el resultado de la raíz al índice de radial será igual al radicando, lo que corresponde a la parte de exponente o potencia.

na = r ↔ r n = a

Importante: Se recomienda tener reforzado el conocimiento para el exponente o potencia de un número para poder resolver de manera sencilla la raíz.


Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es el número (resultado de la raíz) que elevado al cuadrado reproduce exactamente el número dado (radical). Se puede presentar con índice 2 o sin índice.

a = 2a

¿Cómo calcular la raíz cuadrada?

Para obtener la raíz cuadrada de un número en algunos casos es muy simple elevando al cuadrado dicho número por ejemplo:

24 = 222 = 2
216 = 242 = 4

Claro, con la práctica será sencillo obtener la raíz cuadrada de cualquier número o una aproximación.

A continuación se presenta el procedimiento para obtener la raíz cuadrada, como ejemplo se emplea el número 65536.

65536
  1. Se debe separar en parejas de derecha a izquierda el número del cual se quiere obtener la raíz cuadrada(Se representa la separación mediante una apóstrofe):

    6 ´ 55 ´ 36

  2. Calcular la raíz cuadrada de la primera pareja de la izquierda y posicionar el resultado en la línea de raíz, se realiza la resta correspondiente.

    6 ´ 55 ´ 36   2    - 4                    2
    El número correspondiente es 22 = 4, no podría ser 32 = 9 ya que es mayor a 6.

  3. Se baja la siguiente pareja de números y el número que se encuentra en la raíz se debe multiplicar por “2”.

    6 ´ 55 ´ 36   2              - 4                  2 x 2 = 4   2    55
  4. Ahora se debe encontrar un dígito para agregar al renglón de la raíz y hacer la multiplicación correspondiente, el resultado será la resta.

    6 ´ 55 ´ 36   2              - 4                  2 x 2 = 4   2    55          4    x    
    • 4.1. Un método para encontrar el dígito es tomar el número que conocemos de n dígitos (En este caso corresponde a 4, por lo tanto es un dígito), del número 255 se debe tomar n+1 dígitos de izquierda a derecha (Ya que n=1, se debe considerar 1+1=2 dígitos), lo que corresponde a considerar el número 25.

    • 4.2. Posteriormente realizada la separación se debe hacer la multiplicación de 4 por un número que de un resultado o aproximado a 25(En número debe ser entero). La mejor forma es dividir 25/4 y considerar la parte entera.

    • 4.3. EL número que más se aproxima a 25 es 6 x 4 = 24, pero al hacer la operación completa de 46 x 6 = 276 el resultado es superior a 255, por lo tanto, no es posible resolver con el dígito 6, la solución es muy simple retrocedemos un número ahora sería 5 x 4 = 20 y al completar la operación 45 x 5 = 225, lo cual permite continuar resolviendo la raíz.

    El dígito encontrado se debe colocar en el renglón de la raíz.

    6 ´ 55 ´ 36   2 5                - 4                  2 x 2 = 4   2    55          45 x 5 = 225
  5. Realizar la resta correspondiente y si aún es posible continuar resolviendo se debe ir nuevamente al paso 3.

    6 ´ 55 ´ 36   2 5              - 4                  2 x 2 = 4   2    55          45 x 5 = 225 - 2    25   0    30

Lo anterior mencionado corresponde a los pasos para obtener la raíz cuadrada de un número, si se tiene alguna duda a continuación se representa los puntos faltantes para encontrar la raíz cuadrada de 65536(considerar que los pasos ya son repetitivos).

  • Después de realizar la resta, bajamos la siguiente pareja de número y el número en la raíz se debe multiplicar por “2”.

    6 ´ 55 ´ 36   2 5              - 4                  2 x 2 = 4   2    55          45 x 5 = 225 - 2    25          25 x 2 = 50   0    30    36
  • Ahora se debe encontrar un dígito para agregar al renglón y hacer la multiplicación correspondiente.

    6 ´ 55 ´ 36   2 5              - 4                  2 x 2 = 4   2    55          45 x 5 = 225 - 2    25          25 x 2 = 50   0    30   36    50    x    
    • Ahora n tiene el valor de 2 dígitos (En este caso corresponde a 50), por lo tanto del número 3036 se debe tomar n + 1 dígitos de izquierda a derecha (Ya que n=2, se debe considerar 2 + 1 = 3), lo que corresponde a considerar 303.

    • Realizando las operaciones correspondientes encontramos que 50 x 6 = 300 por lo tanto 506 x 6 = 3036.

  • Por último colocamos el dígito encontrado en el renglón de la raíz, realizamos la resta correspondiente y observamos que el residuo es de “0”, por lo tanto, el resultado de la raíz es 256

    6 ´ 55 ´ 36   2 5 6              - 4                  2 x 2 = 4   2    55          45 x 5 = 225 - 2    25          25 x 2 = 50   0    30   36    506 x 6 = 3036       - 30   36                 0

Para comprobar si la raíz es correcta debemos elevar el número 256 al cuadrado en este caso 256 elevado al cuadrado es igual a 65536.

Raíz cuadrada con residuo

En algunos casos la raíz cuadrada tendrá un residuo, por ejemplo:



1 ´ 34   1 1             - 1           1 x 2 = 2   0    34   21 x 1 = 21 -       21         13

Para comprobar el resultado, se debe elevar el resultado en la raíz al cuadrado y le sumamos el residuo, el resultado corresponde al radicando.

112 = 121
121 + 13 = 134

Para obtener un valor más exacto se emplea el punto decimal, por lo tanto, se agregan grupos de ceros al radicando después del punto decimal y en el resultado de la raíz se debe considerar el punto decimal.

Raíz cuadrada con decimales

Es el mismo método, únicamente se deben tener en consideración algunas observaciones.

La separación de parejas se realiza a la izquierda del punto decimal y otra separación de pareja se realiza a la derecha del punto decimal, por ejemplo:

Se quiere encontrar la raíz cuadrada de 637.4


637.4

Primeramente debemos hacer la separación de los números por pareja a la izquierda del número, por lo tanto, la separación quedaría así:


6 ´ 37 . 4

Ahora la separación a la derecha del punto decimal, ya que únicamente se tiene el número 4 se le agregaría un “0” ya que la separación debe ser en pareja.

Por lo tanto, la raíz cuadrada de 637.4 con las separaciones correspondientes sería:


6 ´ 37 . 40

Considerando que el punto es un separador.

Ya que tengamos la raíz separada debemos hacer el procedimiento para obtener el resultado, ahora lo único que faltaría sería considerar el punto en la línea del resultado de la raíz.



6 ´ 37 . 40   2 5.2             - 4                  2 x 2 = 4   2    37          45 x 5 = 225 - 2    25          25 x 2 = 50   0    12   40    502 x 2 = 1004    -    10   04             2   36

Como se puede observar en el anterior procedimiento sigue quedando residuo, es posible seguir agregando ceros a la derecha del punto hasta que el residuo sea “0” o dependiendo de la cantidad de decimales que se desean.



6 ´ 37 . 40 00  2 5.2 4            - 4                      2 x 2 = 4   2    37              45 x 5 = 225 - 2    25              25 x 2 = 50   0    12   40       502 x 2 = 1004    -    10   04       252 x 2 = 504           2   36 00  5044 x 4 = 20176       -   2   01 76           0   34 24

Raíz cúbica

La raíz cúbica de un número es el número (resultado de la raíz) que elevado a la tercera potencia reproduce exactamente el número dado (radical).

Con la práctica será sencillo obtener la raíz cúbica de cualquier número o una aproximación.

327 = 333 = 3
3125 = 353 = 5

¿Cómo calcular la raíz cúbica?

A continuación se presenta el procedimiento para obtener la raíz cúbica, como ejemplo se emplea el número 2299968.

3 2299968
  1. Se debe separar en los números de tres en tres de derecha a izquierda el número del cual se quiere obtener la raíz cúbica(Se representa la separación mediante una apóstrofe):
    3 2 ' 299 ' 968
  2. Calcular la raíz cúbica de la primera pareja de la izquierda y posicionar el resultado en la línea de raíz, se realiza la resta correspondiente.

    3 2 ´ 299 ´ 968   1      - 1     1

  3. Se baja la siguiente pareja de números y el número que se encuentra en la raíz se debe elevar al cuadrado y multiplicar por 3.

    3 2 ´ 299 ´ 968   1      - 1                     3 x 12 = 3     1   299
  4. Posteriormente se debe encontrar el siguiente digito del resultado de la raíz, por lo tanto, se divide la cifra correspondiente entre el anterior resultado. Se debe eliminar dos dígitos de derecha a izquierda, por ejemplo de 1299 únicamente se considera 12.

    3 2 ´ 299 ´ 968   1      - 1                     3 x 12 = 3     1   299             12 / 3 = 4
  5. El resultado obtenido posiblemente es el dígito, para ello debemos comprobar realizando los siguientes pasos:
    • 5.1. Realizar una multiplicación de: 3 que multiplica a los dígitos de la raíz elevados al cuadrado, por el dígito encontrado, por 100.
      3 x 12 x 4 x 100 = 1200
    • 5.2. Realizar una multiplicación de: 3 que multiplica a los dígitos de la raíz, por el digito encontrado al cuadrado y por 10.
      3 x 1 x 42 x 10 = 480
    • 5.3. Elevar al cubo el digito encontrado y multiplicar por 1.
      43 x 1 = 64
    • 5.4. Al realizar los 3 pasos anteriores únicamente queda realizar la suma correspondiente y verificar si es posible restar.
      1200 + 480 + 64 = 1744

      Nota: Si no es posible restar, entonces el valor del digito se debe disminuir en 1 y volver a repetir los pasos anteriores.

      Ya que al hacer la operación 1229 - 1744 resultaría un número negativo entonces el dígito 4 no es correcto.


      3 2 ´ 299 ´ 968   1      - 1                     3 x 12 = 3     1   299             12 / 3 = 4 → 3

    • Nuevamente se hacen los anteriores pasos, ahora con el dígito 3:

      3 x 12 x 3 x 100 = 900
      3 x 1 x 32 x 10 = 270
      33 x 1 = 27
      900 + 270 + 27 = 1197
    El digito encontrado se debe colocar en el resultado de la raíz.
  6. Realizar la resta correspondiente y si aún es posible continuar resolviendo se debe ir nuevamente al paso 3.
    3 2 ´ 299 ´ 968   1 3           - 1                     3 x 12 = 3     1   299             12 / 3 = 4 → 3   - 1  197     0   102

Los anteriores pasos son los básicos para obtener la raíz cúbica de un número, a continuación se muestra la operación completa para encontrar la raíz cúbica de 2299968:


3 2 ´ 299 ´ 968   1 3 2              - 1                      3 x 12 = 3     1   299             12 / 3 = 4 → 3   - 1  197              3 x 132 = 507     0   102    968  1029 / 507 = 2.029 → 2        - 102   968                       0

Operación con el dígito 2:

3 x 132 x 2 x 100 = 101400
3 x 13 x 22 x 10 = 1560
23 x 1 = 8
101400 + 1560 + 8 = 102968

Como pueden observar el residuo es de 0, el resultado de la raíz cúbica es de 132, para comprobar únicamente se debe elevar 132 al cubo, eso quiere decir que 132 x 132 x 132 = 2299969.

Raíz cúbica con residuo

Si el resultado de la raíz cúbica tiene un residuo se comprueba de la misma manera y al elevar al cubo el resultado de la raíz cubica se debe sumar el residuo, el resultado debe ser el número en el radicando.

Raíz cúbica con decimal

La forma de obtener es el mismo procedimiento de agregar ceros, por lo tanto, considerando la separación de números a la izquierda del punto decimal y la separación a la derecha de punto decimal.

Importante: En este caso se agregarían 3 ceros.