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Matemáticas18

Decágono

Contenido

¿Qué es un decágono?

Un decágono es un polígono formado por 10 lados, 10 vértices y 10 ángulos internos. El decágono puede ser de forma geométrica regular o irregular.

Vértice Lado Ángulo

Decágono regular

El decágono regular se caracteriza por tener nueve lados de igual longitud y cada uno de sus ángulos internos tiene la misma medida.

a a a a a a a a a a 140° 140° 140° 140° 140° 140° 140° 140° 140° 140°

Ángulos de un decágono regular

En un polígono se contemplan principalmente dos tipos de ángulos: los ángulos interiores y los exteriores.

  • Ángulos interiores del decágono regular: Para calcular el total de la suma de los ángulos interiores de un decágono regular se emplea la siguiente fórmula:
    180°(n – 2)
    Donde "n" representa la cantidad de lados.
    Ya que el polígono es de 10 lados, la suma de los ángulos interiores será 1260°.
    180°(10 – 2) = 1440°
    Para calcular el valor de cada ángulo únicamente debemos dividir 1440°/n = 1440°/10 = 144°, de forma directa la fórmula será:
    180°(n – 2) /
    n
    Donde "n" representa la cantidad de lados.
    180°(10 – 2) /
    10
    = 140°
  • Ángulos exteriores del decágono regular: La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es de 360°, teniendo en consideración que la suma del ángulo interior y el exterior es de 180°.
    La fórmula para calcular el ángulo exterior será:
    360° /
    n
    Donde "n" representa la cantidad de lados.
    El ángulo exterior será de:
    360° /
    10
    = 36°
    Al sumar el ángulo interior con el ángulo exterior se puede comprobar que el resultado es de 180°:
    144° + 36° = 180°
144° 36°

Nota: Conociendo el ángulo interior o exterior del decágono regular es posible realizar una resta a 180° para conocer el otro ángulo.

Perímetro del decágono regular

Al tener los 10 lados de la misma longitud es posible simplificar la fórmula:

Perímetro = 10(a)
a a a a a a a a a a

Donde "a" representa la longitud de cada lado.

Apotema del decágono regular

La apotema es la menor distancia entre el centro del decágono y cualquiera de sus lados.

Apotema

A continuación se muestra dos procedimientos y las fórmulas correspondientes para obtener el valor de la apotema, considerando los siguientes datos de la figura:

Ap a r α
  • a es la longitud de un lado.
  • r es el radio de la circunferencia circunscrita, en otras palabras, longitud del centro a un vértice.
  • Ap es la longitud de la apotema.
  • α es el ángulo central, corresponde al ángulo entre las dos líneas que unen el centro del decágono con dos vértices consecutivos.

Dependiendo de las variables disponibles podemos emplear una fórmula.

Primeramente de la figura se hace un recorte para obtener el siguiente triángulo rectángulo:

Ap a/2 r α/2
  • Resolviendo por el teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, por lo tanto, la fórmula será:
    Ap2 + (a/2)2 = r2
    Lo que interesa encontrar es la apotema, realizando el despeje con respecto a “Ap”, la fórmula será:
    Ap = r2 – (a/2)2
  • Resolviendo por funciones trigonométricas: Primeramente se debe calcular el ángulo central, se debe dividir 360° entre los números de lados, por lo tanto, el ángulo central es:
    α =
    360° /
    10
    = 36°

    Nota: Considerar que en el triángulo rectángulo se emplea la mitad del ángulo central. α/2 = 18°

    Mediante la función tangente que corresponde:
    Tan(x) =
    Cateto opuesto
    / Cateto adyacente
    Sustituyendo las variables de la figura correspondiente al triángulo rectángulo se tiene:
    Tan(α/2) =
    a/2
    /
    Ap
    Despejando la anterior ecuación con respecto a la apotema:
    Ap =
    a/2
    /
    Tan(α/2)
    Considerando que en todo decágono regular el ángulo central no varía y reacomodando la anterior ecuación, se tiene:
    Ap =
    a
    /
    2Tan(18)
    =
    a
    /
    2(0.32492)

    Nota: El valor de tan(18) = 0.32491969623290632615587141221513 fue redondeado.

    Por lo tanto, la fórmula para encontrar la apotema será:
    Ap =
    a
    /
    0.64984
    También se puede emplear de la siguiente manera:
    Ap = (1.53884)(a)

Área del decágono regular

El área se calcula mediante la siguiente fórmula:

Área =
(n)(a)(Ap)
/
2

Donde:

  • n es la cantidad de lados.
  • a es la longitud de uno de los lados.
  • Ap es el valor de la apotema.

Es posible simplificar al sustituir el perímetro = 10(a), por lo tanto, la fórmula será:

Área =
(perímetro)(Ap)
/
2

También dada la fórmula de la apotema Ap = a/0.64984 y conociendo la cantidad de lados, podemos sustituir en la fórmula del área y simplificar:

Área =
(10)(a)(a)
/
2(0.64984)
= 7.6942(a2)

Para la anterior ecuación, únicamente tenemos de variable “a” que corresponde a la longitud de cada lado.

Nota: Dependiendo de la variable deseada se realizan los despejes o sustituciones que son necesarias para simplificar la ecuación.

Cantidad de diagonales en un decágono

El decágono tiene 35 diagonales.

Empleando la fórmula para calcular la cantidad de diagonales:

Nd =
n(n – 3) /
2
=
10(10 – 3) /
2
= 35

Donde:

  • Nd es el número de diagonales.
  • n es el número de lados.

Decágono irregular

El decágono irregular es cuando uno o varios de sus lados o ángulos son de diferente medida.

Perímetro del decágono irregular

Ya que los lados del decágono irregular pueden ser todos o únicamente uno distinto, es necesario realizar la sumatoria de cada lado.

Perímetro = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j

Donde a, b, c, d, e, f, g, h, i y j son los lados del decágono irregular.

Área del decágono irregular

El método más común para calcular el área de un decágono irregular consiste en dividir en cinco triángulos y calcular el área de cada uno, posteriormente realizar la suma del área de cada triángulo para obtener el área del decágono irregular.