Endecágono

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¿Qué es un endecágono?

Un endecágono es un polígono formado por 11 lados, 11 vértices y 11 ángulos internos. El endecágono puede ser de forma geométrica regular o irregular.

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Endecágono regular

El endecágono regular se caracteriza por tener nueve lados de igual longitud y cada uno de sus ángulos internos tiene la misma medida.

Ángulos de un endecágono regular

En un polígono se contemplan principalmente dos tipos de ángulos: los ángulos interiores y los exteriores.

• Ángulos interiores del endecágono regular: Para calcular el total de la suma de los ángulos interiores de un endecágono regular se emplea la siguiente fórmula: 180°(n – 2) Donde "n" representa la cantidad de lados.
  Ya que el polígono es de 11 lados, la suma de los ángulos interiores será 1260°. 180°(11 – 2) = 1620° Para calcular el valor de cada ángulo únicamente debemos dividir 1620°/n = 1620°/11 = 147.27°, de forma directa la fórmula será:
  180°(n – 2) / n
  Donde "n" representa la cantidad de lados.
  180°(11 – 2) / 11

  = 147.27°
• Ángulos exteriores del endecágono regular: La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es de 360°, teniendo en consideración que la suma del ángulo interior y el exterior es de 180°.
  La fórmula para calcular el ángulo exterior será:
  360° / n
  Donde "n" representa la cantidad de lados.
  El ángulo exterior será de:
  360° / 11

  = 32.73°
  Al sumar el ángulo interior con el ángulo exterior se puede comprobar que el resultado es de 180°: 147.27° + 32.73° = 180°

Nota: Conociendo el ángulo interior o exterior del endecágono regular es posible realizar una resta a 180° para conocer el otro ángulo.

Perímetro del endecágono regular

Al tener los 11 lados de la misma longitud es posible simplificar la fórmula:

Perímetro = 11(a)

Donde "a" representa la longitud de cada lado.

Apotema del endecágono regular

La apotema es la menor distancia entre el centro del endecágono y cualquiera de sus lados.

A continuación se muestra dos procedimientos y las fórmulas correspondientes para obtener el valor de la apotema, considerando los siguientes datos de la figura:

• a es la longitud de un lado.
• r es el radio de la circunferencia circunscrita, en otras palabras, longitud del centro a un vértice.
• A_p es la longitud de la apotema.
• α es el ángulo central, corresponde al ángulo entre las dos líneas que unen el centro del endecágono con dos vértices consecutivos.

Dependiendo de las variables disponibles podemos emplear una fórmula.

Primeramente de la figura se hace un recorte para obtener el siguiente triángulo rectángulo:

• Resolviendo por el teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, por lo tanto, la fórmula será: A_p² + (a/2)² = r² Lo que interesa encontrar es la apotema, realizando el despeje con respecto a “A_p”, la fórmula será: A_p = √r² – (a/2)²
• Resolviendo por funciones trigonométricas: Primeramente se debe calcular el ángulo central, se debe dividir 360° entre los números de lados, por lo tanto, el ángulo central es:
  α =

  360° / 11

  = 32.73°

  Nota: Considerar que en el triángulo rectángulo se emplea la mitad del ángulo central. α/2 = 16.365°

  Mediante la función tangente que corresponde:
  Tan(x) =

  Cateto opuesto / Cateto adyacente
  Sustituyendo las variables de la figura correspondiente al triángulo rectángulo se tiene:
  Tan(α/2) =

  a/2 / A_p
  Despejando la anterior ecuación con respecto a la apotema:
  A_p =

  a/2 / Tan(α/2)
  Considerando que en todo endecágono regular el ángulo central no varía y reacomodando la anterior ecuación, se tiene:
  A_p =

  a / 2Tan(16.365)

  =

  a / 2(0.29365)

  Nota: El valor de tan(16.365) = 0.29365234501169357429551173595575 fue redondeado.

  Por lo tanto, la fórmula para encontrar la apotema será:
  A_p =

  a / 0.5873
  También se puede emplear de la siguiente manera: A_p = (1.7027)(a)

Área del endecágono regular

El área se calcula mediante la siguiente fórmula:

Donde:

• n es la cantidad de lados.
• a es la longitud de uno de los lados.
• A_p es el valor de la apotema.

Es posible simplificar al sustituir el perímetro = 11(a), por lo tanto, la fórmula será:

También dada la fórmula de la apotema A_p = a/0.5873 y conociendo la cantidad de lados, podemos sustituir en la fórmula del área y simplificar:

Para la anterior ecuación, únicamente tenemos de variable “a” que corresponde a la longitud de cada lado.

Nota: Dependiendo de la variable deseada se realizan los despejes o sustituciones que son necesarias para simplificar la ecuación.

Cantidad de diagonales en un endecágono

El endecágono tiene 44 diagonales.

Empleando la fórmula para calcular la cantidad de diagonales:

Donde:

• N_d es el número de diagonales.
• n es el número de lados.

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Endecágono irregular

El endecágono irregular es cuando uno o varios de sus lados o ángulos son de diferente medida.

Perímetro del endecágono irregular

Ya que los lados del endecágono irregular pueden ser todos o únicamente uno distinto, es necesario realizar la sumatoria de cada lado.

Perímetro = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k

Donde a, b, c, d, e, f, g, h, i,j y k son los lados del endecágono irregular.

Área del endecágono irregular

El método más común para calcular el área de un endecágono irregular consiste en dividir en cinco triángulos y calcular el área de cada uno, posteriormente realizar la suma del área de cada triángulo para obtener el área del endecágono irregular.