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Matemáticas18

Factorización

Contenido

¿Qué es la factorización?

La factorización es una expresión algebraica que mediante factores o divisores permiten simplificar en términos más simples para su manipulación.

En la expresión (a + ab) es posible factorizar ya que en cada término se tiene la letra “a”, por lo tanto, al factorizar se tiene que (a + ab) = a(1 + b), si se realiza la multiplicación de los factores a(1 + b) se obtiene como producto la primera expresión (a + ab).

Factorización de un monomio

Por inspección se puede encontrar los factores de 6abc que corresponden a 2, 3, a, b y c. Por lo tanto:

12abc = (2)(3)(a)(b)(c)

Como se puede observar el número 6 se descompuso en los términos obtenidos mediante el mcm.

Factorización de un polinomio

Muchas de las factorizaciones se pueden realizar por inspección, en otras palabras, observando los términos del polinomio y verificar si se tiene algún factor en común.

Ejemplos:

A) 3x2 + 3 = 3(x2 + 1)
B) 2x2 + 3x = x(2x + 3)
C) 9ba + 9b = 9b(a + 1)

Como se puede observar el propósito de la factorización consiste en encontrar un factor común en los términos dados.

También el factorizar permite agrupar términos para obtener una expresión algebraica simplificada. Por ejemplo se quiere factorizar:

x (a + 1) – a – 1

Primeramente se puede observar que agrupando – a – 1 se tendría un factor común al término x(a + 1), por lo tanto, al agrupar se tiene:

x (a + 1) – (a + 1)

Observar que el término (a + 1) se puede representar como (1)(a + 1). Ahora es posible agrupar los términos (a + 1), obteniendo:

(x – 1)(a + 1)

De está manera se manipula la expresión para la solución de ecuaciones más simples.

Método para la factorización

En algunos casos es difícil factorizar una expresión por inspección y para eso es posible emplear otro método, para este caso consiste en un método de evaluación en el cual se va obteniendo los coeficientes correspondientes para obtener una expresión algebraica factorizada.

Por ejemplo, se quiere factorizar la siguiente expresión:

x3 + 4x2 + x – 6
  • Se deben considerar el número de menor grado, en este caso es el 6. Expresamos todo número positivo o negativo que sea divisible de 6:
    D(6) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 6}
  • Realizamos un acomodo de la expresión únicamente considerando el valor numérico, por lo tanto, de la expresión x3 + 4x2 + x – 6 se obtiene:
    1  4  1  –6
  • Ahora procedemos a realizar un acomodo de los números obtenidos de la expresión:
    1   4   1   –6                     
  • Procedemos a realizar las operaciones, ahora se tienen diferentes posibilidades suponiendo los números que son divisibles de 6, se tendría 8 posibilidades(x = 1, x = 2, x = 3, x = 6, x = –1, x = –2, x = –3, x = –6). Para primera prueba se considera x = 1.
    1   4   1   –6  1                    
  • El primer númeo se debe bajar y se debe hacer las multiplicaciones indicadas con respecto al número propuesto(x = 1).
    1     4       1         –6  1      1(1)   5(1)    6(1)  1     5       6        0 
    El procedimiento de la operación es 4 + 1(1) = 5, ahora el resultado se debe colocar en la siguiente columna y multiplicar por el número propuesto 1 + 5(1) = 6 y se debe continuar con todas las columnas.

    Importante: Para saber que el valor es correcto, el último valor de la columna debe ser igual cero.

  • Considerando que el valor de la columna es igual a cero, podemos identificar que x = 1 que corresponde a (x – 1 = 0) es un divisor de la expresión x3 + 4x2 + x – 6 y el cociente sería x2 + 5x + 6, por lo tanto, se tiene:
    x3 + 4x2 + x – 6 = (x – 1)(x2 + 5x + 6)

    Nota: Si se quiere comprobar el resultado obtenido es posible realizar la división x3 + 4x2 + x – 6 entre x – 1

  • Como se puede observar es posible seguir factorizando, para este caso el número considerado es x = –2 y únicamente se considera la expresión x2 + 5x + 6:
    1     5          6        –2      1(–2)   3(–2)     1     3       0  
    El cociente resulta 1 y 3 que corresponde a (x + 3) y ya que el residuo es cero se considera que el número propuesto x = –2 que corresponde a (x + 2 = 0) es divisible de la expresión x2 + 5x + 6.
  • Como resultado se obtiene la factorización:
    x3 + 4x2 + x – 6 = (x – 1)(x + 3)(x + 2)
    Para comprobar se puede realizar la operación y debe resultar la expresión no factorizada.
En algunos casos podemos tener una expresión x3+ 5x + 8, lo que se debe hacer es agregar ceros para completar la expresión dando como resultado. x3 + 0x2 + 5x + 8.