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Matemáticas18

Mínimo común múltiplo (mcm)

Contenido

¿Qué es mcm?

De los múltiplos que tienen en común varios números naturales, al menor de estos múltiplos se le conoce como mínimo común múltiplo, también abreviado con letras minúsculas como “mcm”. En otras palabras se interpreta al mínimo común múltiplo como el número más pequeño de los múltiplos comunes.


¿Cómo obtener el mínimo común múltiplo?

Para obtener el mcm es recomendable trazar una línea vertical en donde, a la izquierda de la línea están los números o el número del cual queremos obtener el mínimo común múltiplo.

A la derecha de la línea vamos a poner el número primo que va a dividir al número del cual queremos obtener el mcm.

Vamos a realizar un ejemplo simple, únicamente se requiere obtener el mcm de un número, calculando el mcm de 18, a continuación se muestra paso a paso para resolver el problema:

  1. Primeramente se traza una línea vertical y a la izquierda vamos a colocar el número del cual queramos obtener el mcm, en este caso es el 18, es muy importante tener un orden.
    18                        

    Nota: Se trazó una línea tipo guión para poder visualizar cada etapa de las operaciones.

  2. Se comprueba si el número a analizar es divisible entre 2, si es divisible entonces ponemos el número 2 a la derecha de la línea y debajo de 18 ponemos el resultado de la división.
    18  2   9                
  3. Nuevamente debemos comprobar si el número a analizar, ahora 9, es divisible entre 2, ya que no es divisible entonces proseguimos al siguiente número primo que corresponde a 3, ya que 9 si es divisible entre 3 podemos proseguir con el análisis.
    18  2   9  3   3         
  4. Nuevamente verificamos si el número a analizar, ahora 3, es divisible entre 3, ya que si es divisible entonces proseguimos con el análisis.
    18  2   9  3   3  3   1  
  5. Cuando el número a analizar es 1 significa que ya podemos obtener el mcm considerando una multiplicación de los números que están a la derecha de la línea.
    2 x 3 x 3 = (18) ← mcm

    Nota:Como únicamente estamos obteniendo el mcm de un número, el resultado de la operación va a ser el mismo número, por lo tanto, el mcm de 18 es 18.

    Ejemplos:

    A) 20  2 10  2   5  5   1  
    B) 7  7 1  
    C) 25  5   5  5   1  
    D) 16  2   8  2   4  2   2  2   1  

    El mcm sería:
    A) 2 x 2 x 5 = 20
    B) 7
    C) 5 x 5 = 25
    D) 2 x 2 x 2 x 2 = 16

    Ejercicios:

    ¿Cuál es el mínimo común múltiplo? mcm = ?
    A)
    9    = ?
    B)
    16    = ?
    C)
    45    = ?
    D)
    82    = ?

Vamos a realizar otro ejemplo de 2 o más números de los cuales se requiera obtener el mínimo común múltiplo, el procedimiento es el mismo que para un número. Considerando como ejemplo obtener el mcm de 5 y 4.

  1. Primeramente debemos hacer el trazado de una línea vertical y poner una separación entre los números a analizar.
    5    4                                   

    Nota: Se trazó una línea tipo guión para poder visualizar cada etapa de las operaciones.

  2. Se comprueba si los números a analizar son divisibles entre 2, observamos que el 5 no puede dividirse entre dos ya que no se obtiene un número entero, pero el número 4 si se puede dividir entre 2, por lo tanto, el número 5 se vuelve a colocar en la siguiente fila y con el número 4 efectuamos la división correspondiente.
    5    4  2 5    2                        
  3. Nuevamente debemos comprobar si el número a analizar, ahora 5 y 2, son divisibles entre 2, nuevamente el 5 no es divisible entre dos pero al número 2 si lo podemos dividir entre 2.
    5    4  2 5    2  2 5    1             
  4. Nuevamente verificamos si el número a analizar, ahora 5 y 1, son divisibles entre 2, como uno de los números a analizar ya llegó a 1 únicamente nos concentraremos en el número 5, ya que 5 no es divisible entre 2 pasamos al siguiente número primo que es 3, pero 5 tampoco es divisible entre 3, ya que 5 es un número primo entonces vamos a dividir entre 5.
    5    4  2 5    2  2 5    1  5 1    1  
  5. Cuando los números a analizar sean 1 ya es posible obtener el mcm considerando una multiplicación de los números a la derecha de la línea.
    2 x 2 x 5 = 20
    Por lo tanto, el mcm de 5 y 4 es 20.

    Ejemplos:

    A) 8    6  2 4    3  2 2    3  2 1    3  3 1    1  
    B) 15    18  2 15      9  3   5      3  3   5      1  5   1      1  
    C) 24    33  2 12    33  2   6    33  2   3    33  3   1    11  11   1      1  
    D) 39    17  3 13    17  13   1    17  17   1      1  

    El mcm sería:
    A) 2 x 2 x 2 x 3 = 24
    B) 2 x 3 x 3 x 5 = 90
    C) 2 x 2 x 2 x 3 x 11 = 264
    D) 3 x 13 x 17= 663

    Ejercicios:

    ¿Cuál es el mínimo común múltiplo? mcm = ?
    A)
      6    13    = ?
    B)
      9    22    = ?
    C)
      24    17    = ?
    D)
      45    25    = ?

Cálculo del mcm en una fracción

Suponiendo que tenemos la siguiente suma de fracciones:

1 / 4
+
1
/ 12

Podemos obtener el denominador al multiplicar 4 x 12 = 48, pero sería un número muy grande y la fracción no estaría simplificada, es por eso que vamos a obtener el mcm de 4 y 12.

Siguiendo el procedimiento para obtener el mcm el resultado fue el siguiente:

4   12  2 2     6  2 1     3  3 1     1  

Por lo tanto, el mcm de 4 y 12 es:

2 x 2 x 3 = 12

Ahora que ya conocemos el mcm, la operación que se va a realizar con fracciones se simplifica:

1 / 4
+
1
/ 12
=
3 + 1
/
12
=
4
/
12

La fracción resultante 4/12 se puede simplificar dividiendo el numerador y denominador entre 4, por lo tanto, 4/12 = 1/3. Esto se puede comprobar al realizar ambas divisiones 4/12= 0.3333 y 1/3=0.3333.