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Matemáticas18

Logaritmo

Contenido

¿Qué es el logaritmo?

El logaritmo es el exponente de una potencia con cierta base, el logaritmo de un número debe ser positivo, es decir, el argumento y la base de un logaritmo corresponde a números reales(números positivos).

Símbología del logaritmo

El logaritmo se representa mediante la abreviatura:

log


Partes del logaritmo

El logaritmo consta de 3 partes fundamentales:

logb a = c

  • La letra "a": Es el argumento.
  • La letra "b": Es la base del logaritmo.
  • La letra "c": Es el logaritmo o resultado del logaritmo.

Propiedades de los logaritmos

Existen diferentes propiedades logarítmicas para simplificar una ecuación matemática, a continuación se mencionan las propiedades básicas de los logaritmos:

  • Logaritmo de la unidad: El resultado del logaritmo con argumento igual a 1 siempre es igual a 0.
    a = 1
    logb (1) = 0

    Es muy sencillo comprobar, si elevamos el número base del logaritmo a la potencia del resultado que sería cero daría como resultado 1, por lo tanto, cualquier número elevado a la potencia “0” resultaría 1 que corresponde al valor del argumento.

    b0 = 1

    Ejemplos:

    A) log3 (1) = 0
    B) log5 (1) = 0
    C) log4 (1) = 0
    D) log10 (1) = 0
  • Logaritmo de la base: Si el argumento y la base son del mismo valor el logaritmo o resultado es igual a 1.
    Teniendo a = b el resultado c = 1
    logb b = 1

    Caso especial: Si el argumento y la base tienen un valor de 1 se considera la propiedad “logaritmo de la unidad”.

    Ejemplos:

    A) log3 (3) = 1
    B) log8 (8) = 1
    C) log6 (6) = 1
    D) log5 (5) = 1
  • Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo.
    logb an = n logb a

    Ejemplos:

    A) log2 (2)4 = 4 log2 2 = 4
    B) log3 (9)2 = 2 log3 9 = 2 x 3 = 6
    C) log5 (125)3 = 3 log5 125 = 3 x 3 = 9
    D) 2 log10 (10)4 = 2 x 4 log1010 = 8
  • Logaritmo de una potencia con igual base: Si el argumento es igual al valor de la base, se considera que el valor del logaritmo es igual al exponente de la potencia.
    Teniendo an y a = b el resultado c = n
    logb bn = n

    Ejemplos:

    A) log3 (3)5 = 5
    B) log8 (8)4 = 4
    C) log6 (6)3 = 3
    D) log5 (5)9 = 9
  • Logaritmo de una potencia en la base y con igual base: Si el argumento es igual al valor de la base, se considera que el valor del logaritmo es igual a uno entre el valor del exponente de la potencia base.
    Teniendo bn y a = b el resultado c = 1 / n
    logbn b = 1 / n

    Ejemplos:

    A) log32 (3) = 1/2
    B) log84 (8) = 1/4
    C) log63 (6) = 1/3
    D) log59 (5) = 1/9
  • Logaritmo de una raíz: El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
    logb (nam)
    =
    m / n
    (logb a)

    Ejemplos:

    A) log8 (4648)
    =
    8 / 4
    (log8 64) = 4

    B) log5 (21256)
    =
    6 / 2
    (log5 125) = 9
  • Logaritmo del producto: El logaritmo de un producto de factores, en este caso argumento uno (a1) y argumento dos (a2) es la suma de los logaritmos de los factores.
    logb (a1 x a2) = logb (a1) + logb (a2)

    Ejemplos:

    A) log3(3 x 2) = log33 + log32 = 1 + log32
    B) log6(12 x 2) = log612 + log62
  • Logaritmo del cociente: El logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo considerando como argumento el numerador (a1), menos el logaritmo considerando como ardumento el denominador (a2).
    logb
    a1 / a2
    = logb (a1) - logb (a2)

    Ejemplos:

    A) log5
    25 / 3
    = log5 (25) - log5 (3) = 2 - log5(3)

    B) log6
    2 / 3
    = log6 (2) - log6 (3)
  • Logaritmo de uno sobre el argumento: Cuando se tiene uno sobre el argumento es posible simplificar la ecuación del logaritmo y facilitar el procedimiento a emplear.
    logb
    1 / a
    = - logb a

    Ejemplos:

    A) log5
    1
    / 25
    = - log5 (25) = - 2

    B) log4
    1
    / 16
    = - log4 (16) = -2
  • Otras propiedades:
    logbn a =
    1 / n
    logb a
    log1/b a = - logb a

Importante: Para aplicar las propiedades de los logaritmos, sus bases tienen que ser iguales.


¿Cómo obtener el logaritmo de un número?

Para obtener el logaritmo de un número se debe expresar el argumento como una potencia, en donde el argumento debe ser igual a la base. Por ejemplo, encontrar el logaritmo de 16 con base 2:

log2 16 = c

Primeramente simplificamos el 16 dividiendo entre el número de la base hasta obtener como cociente el número 1.

 16  2    8  2    4  2    2  2    1  

Como se puede observar se hicieron en total 4 divisiones (16/2 = 8, 8/2=4, 4/2= 2, 2/2 = 1) para obtener un cociente de 1, por lo tanto, las veces que se encuentra el número 2 a la derecha de la anterior recta son 4 veces y eso equivale a "2 elevado a 4" (24). De esta manera el logaritmo quedaría:

log2 24 = c

Aplicando la propiedad de “logaritmo de una potencia con igual base” se tiene entonces:

log2 24 = 4

Lo anterior mencionado es la explicación paso por paso para obtener el logaritmo, al entender ese procedimiento ahora continuamos con un procedimiento el cual nos permite de manera sencilla resolver logaritmos de mayor complejidad, utilizando el ejemplo anterior:

log2 16 = c

Primeramente vamos a emplear la siguiente expresión matemática:

logb a = c ↔ bc = a
La flecha nos indica que es equivalente

Empleando la anterior ecuación se tiene:

log2 16 = c ↔ 2c = 16

Ahora debemos simplificar el número más grande, por lo tanto, el número 16 se divide entre 2 hasta obtener el cociente de 1, dando como resultado “2 elevado a 4”.

2c = 24

Igualamos los exponentes de los números y obtenemos el resultado de “c” que corresponde al resultado del logaritmo

c = 4

Por lo tanto,

log2 16 = 4

Calcular el logaritmo de un número cuando la base es mayor que el argumento

El procedimiento es muy similar al anterior, en caso de quedar dudas pendientes se realiza a continuación un ejemplo para reforzar el conocimiento.

Como ejemplo, se quiere obtener el logaritmo de 2 con base 32:

log32 2 = c

Empleando la ecuación se obtiene:

log32 2 = c ↔ 32c = 2

Ya que la base (número 32) es mayor que el argumento (número 2) se debe dividir el número 32 entre el argumento hasta obtener un cociente de 1.

 32  2  16  2    8  2    4  2    2  2    1  

De la división se obtiene que 25 = 32, por lo tanto de la ecuación matemática se tiene:

( 25 )c = 2

Lo que equivale a:

25c = 2

Igualando los exponentes, al no indicar el exponente significa que es elevado a 1(2 = 21).

5c = 1

Resolviendo la ecuación se tiene que:

c =
1 / 5

Por lo tanto, el resultado del logaritmo es:

log32 2 =
1 / 5

También es posible resolver mediante las propiedades de los logaritmos, pero con el paso del tiempo se pueden olvidar, se emplea la propiedad "logaritmo de una potencia en la base y con igual base".

log25 (2) =
1 / 5

Calcular el logaritmo de un número cuando el argumento es una fracción

El procedimiento es muy similar al anterior, la única diferencia es que ahora el argumento es una fracción.

Para aplicar el procedimiento, el numerador de la fracción debe ser igual a 1, si no es posible simplificar se debe utilizar la propiedad de "logaritmo del cociente".

Como ejemplo se quiere obtener el logaritmo de 1/9 con base 3:

log3
1 / 9
= c

Empleando la ecuación se obtiene:

log3
1 / 9
= c ↔ 3c =
1 / 9

Es posible simplificar el número 9 dividiendo entre la base 3 hasta obtener un cociente de 1.

   9  3    3  3    1  

Se tendría que 9 equivale a 3 elevado al cuadrado:

3c =
1 / 32

Reacomodando la ecuación:

3c = 3-2

Igualando los exponentes se obtiene el valor de c:

c = -2

Por lo tanto, el resulta del logaritmo es:

log3
1 / 9
= -2

Es posible resolver mediante la propiedad de "logaritmo de uno sobre el argumento".

Calcular el logaritmo de un número cuando la base es una fracción

Como ejemplo se quiere obtener el logaritmo de 8 con base 1/2.

log1/2 8 = c

Empleando la ecuación se obtiene:

log1/2 8 = c ↔ (1/2)c = 8

Simplificando las ecuaciones como en procedimientos anteriores se obtiene:

2-1c = 23

Igualando los exponentes

- c = 3
c = - 3

Por lo tanto, el resultado es igual a:

log1/2 8 = -3

Calcular el logaritmo cuando el número es decimal

Cuando se tiene la base o el argumento en forma decimal, lo principal que se tiene que hacer es convertir en forma de fracción, ya convertido en forma de fracción es posible aplicar propiedades o los métodos anteriormente empleados para la solución del logaritmo.


Tipos de logaritmos comunes

Existen logaritmos con una base que normalmente se emplean en diferentes cálculos matemáticos y con diferente aplicaciones, entre ellos son los logaritmos con base igual a 2, 10 y el número Euler(e).

Logaritmo binario

El logaritmo binario es el logaritmo con base igual a 2.

log2 a

Logaritmo decimal

El logaritmo decimal es el logaritmo con base igual a 10.

log10 a

Logaritmo natural

Es el logaritmo con base igual a e(es decir, el número de Euler, e = 2.718281828…).

loge a

El logaritmo natural normalmente se escribe como:

ln a

Nota: En las calculadores debemos diferenciar entre log y ln, se puede comprobar que loge a = ln a