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Matemáticas18

Multiplicación

Contenido

¿Qué es la multiplicación?

La multiplicación es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética que consiste en sumar reiteradamente un número de acuerdo a la cantidad de veces indicada por otro, por lo tanto, se considera una operación equivalente de la suma ya que el número multiplicado se puede expresar de forma equivalente en una suma, por ejemplo: 3 x 2 = 6 que corresponde a dos veces sumando el tres 3 + 3 = 6 o tres veces sumando el dos 2 + 2 + 2 = 6. Multiplicación es un térmico con origen en el latín "multiplicatio" que permite nombrar la acción y la reacción de multiplicar.

Símbolo o signo de la multiplicación

La representación o signo de la multiplicación se conoce como “por” y se representa mediante un aspa o equis (x), también se puede representar con un punto medio.

Nota: En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*) como signo de multiplicación, es común en computación para los lenguajes de programación.


Partes de la multiplicación

Al realizar una operación de multiplicación se pueden considerar 2 elementos importantes pero uno de estos elementos contiene a otros 2 elementos:

  • Coeficiente o Factores: Corresponde a los números que se multiplican y éste a su vez se descompone en dos términos:
    • Multiplicando: Número que se está multiplicando o número a sumar.
    • Multiplicador: Veces que debe sumarse el multiplicando.
  • Producto: Es el resultado de la multiplicación.
x
3 ← Multiplicando 2 ← Multiplicador / 6 ← Producto

Otra forma de representar la multiplicación anterior sería: 3 x 2 = 6 (3 es el Multiplicando, 2 es el Multiplicador y 6 es el Producto).


Propiedades de la multiplicación

Existen diferentes propiedades básicas que se cumplen en una multiplicación:

  • Conmutativa: “El orden de los factores no altera el producto”, por ejemplo: 3 x 2 = 6 es equivalente a 2 x 3 = 6.
  • Asociativa: “El orden en una multiplicación de 3 o más factores no importa”, por ejemplo: 2 x 3 x 2 = 12, puedo iniciar multiplicando 2 x 2 = 4 y a continuación 4 x 3 = 12, para comprobar es posible multiplicar 2 x 3 = 6 y a continuación 6 x 2 = 12, de esta manera observamos que se obtiene el mismo resultado.
  • Identidad o Elemento Neutro: Un número multiplicado por 1 siempre va resultar ese mismo número, por ejemplo: 6 x 1 = 6.
  • Distributiva: La suma de dos números multiplicados por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número, por ejemplo: 2 x ( 3 + 4 ) = 2 x 3 + 2 x 4, en las dos formas se tiene el mismo resultado.
  • Propiedad del cero: Todo número multiplicado por 0 es siempre 0, por ejemplo 9 x 0 = 0.
  • Propiedad clausurativa: El producto de dos números naturales da como resultado otro número natural, por ejemplo 3 x 4 = 12.
  • Factor común: Consiste en el proceso inverso de la propiedad distributiva. Si tenemos varias operaciones ya sea suma o resta y tienen un factor común o número igual, es posible transformar la suma o resta en producto al extraer dicho factor, por ejemplo: ( 3 x 4 ) + ( 5 x 4 ) = 4 x ( 3 + 5 ), al realizar la operación obtenemos un resultado equivalente 12 + 20 = 4 x (8) por lo tanto 32 = 32.

¿Cómo podemos multiplicar?

La mejor forma de aprender a multiplicar es utilizando cuadrados, se recomienda utilizar una libreta cuadriculada para multiplicar fila "↔" por columna "↕" así todos los cuadros contenidos dentro corresponde al valor de la multiplicación.

2 x 3
3 x 2

Existen diferentes métodos de aprendizaje para la realización de multiplicaciones, entre estos métodos podemos encontrar especialmente dos, los cuales son utilizados para números de cantidades pequeñas y el otro método para números de cantidades grandes.

  • Multiplicación en línea: Es empleada en multiplicaciones de una cantidad pequeña, conforme se obtenga experiencia aumenta la facilidad de este método para números más grandes. Se debe considerar que para una persona que está aprendiendo matemáticas 6 x 8 puede ser un poco confuso, pero el propósito es poco a poco elevar la dificultad. Este método ayuda al aprendizaje del cálculo mental.

    Ejemplos:

    2 x 4 = 8
    3 x 3 = 9
    2 x 3 = 6
    6 x 1 = 6

    Ejercicios:

    A) 2 x 4 = ?
    B) 3 x 2 = ?
    C) 4 x 2 = ?
    D) 3 x 3 = ?
  • Multiplicar en Columna: Es un método para la realización de multiplicaciones grandes, consiste en poner el multiplicando sobre el multiplicador, es importante observar que los números deben estar con sus correspondientes, por lo tanto se debe considerar una estructura de las unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas y así sucesivamente. Para identificar las unidades, decenas y centenas del número 418, primeramente debemos empezar de derecha a izquierda, esto quiere decir que tenemos 8 unidades, 1 decena y 4 centenas, lo que equivale a 8+10+400=418.

    Ejemplos:

      4 x2 /   8
      3 x3 /   9
      4 x0 /   0
      3 x3 /   9

    Ejercicios:

    A)
      1 x6 / ?
    B)
      2 x4 / ?
    C)
      5 x1 / ?
    D)
      0 x5 / ?

En algunas multiplicaciones vamos a tener el caso de la llevada y puede complicar las operaciones a realizar, se recomienda tener un orden para facilitar la multiplicación y obtener el resultado correcto. ¿Qué es la llevada? Suponiendo que tenemos 13 x 4 = 52, primeramente debemos multiplicar las unidades 3 x 4 = 12 por lo tanto tenemos “2” como unidad y “1” como decena. La decena obtenida “1” sería la “llevada” para la posición siguiente correspondiente a las decenas 1 x 4 = 4 y debemos sumar la (llevada); por lo tanto 4 + 1(llevada) = 5 decenas, obteniendo como resultado 2 unidades y 5 decenas que corresponde a 52.

Ejemplos:

1 16 x2 / 32
2 15 x4 / 60
12 147   x3 / 441
11 264   x3 / 792

El número rojo representa la llevada que debe sumarse.

Ejercicios:

A)
12 x3 / ?
B)
26 x3 / ?
C)
128   x2 / ?
D)
258   x3 / ?

Ahora que ya sabes utilizar la llevada vamos a complicar un poco las operaciones aumentando el valor del multiplicador a la columna de decenas.

Para los siguientes pasos a seguir vamos a utilizar el ejemplo número 2 que corresponde a 35 x 24 de los "ejemplos" a continuación.

    Paso 1: Se multiplican las unidades del multiplicador con las unidades del multiplicando. Es decir, 4 x 5 da un producto de 20, las unidades se colocan abajo y las decenas se colocan arriba ya que correspondería a una llevada.
    Paso 2: Se multiplican las unidades del multiplicador con las decenas del multiplicando. Es decir, 4 x 3 da un producto de 12 y se suman las decenas o llevadas que resultaron del paso 1. El resultado se coloca abajo (12 + 2 = 14).
    Paso 3: Se multiplican las decenas del multiplicador con las unidades del multiplicando. Es decir, 2 x 5 da un producto de 10, las unidades se colocan abajo en la columna de las decenas y las decenas se colocan arriba ya que correspondería a una llevada.
    Paso 4: Se multiplican las decenas del multiplicador con las decenas del multiplicando. Es decir, 2 x 3 da un producto de 6, se coloca abajo a la izquierda del último dígito que se colocó, si tiene llevada se le debe sumar (6 + 1 = 7).
    Pago 5: Una vez que se termina de multiplicar cada dígito de los factores, se suman las cantidades resultantes de acuerdo al acomodo que resultó, unidades con unidades, decenas con decenas y centenas con centenas. En este caso la suma de unidades tenemos 0, decenas 4 + 0 = 4 y centenas 7 + 1 = 8.

Ejemplos:

+
  16 x12 /   32 16 192
+
  35 x24 / 140 70 840
+
  17 x13 /   41 17 211
+
  264   x23 /   792 528 6072

El número rojo representa el producto o resultado de la multiplicación.

Ejercicios:

A)
  12 x23 / ?
B)
    26   x43 / ?
C)
  128   x52 / ?
D)
    258   x123 / ?

Multiplicación con decimales

Cuando se multiplican números con decimales, la operación se lleva a cabo de la misma forma en que se multiplican números enteros, aunque es importante saber cómo colocar el punto decimal en el producto final.

Por ejemplo, para multiplicar A)15 x 2.3 y B)1.5 x 2.3:

    Para colocar el punto en el producto final, se cuentan los espacios a la derecha del punto decimal. En el primer caso solo hay un número, esto quiere decir que el punto decimal se colocará un espacio a la izquierda del producto final.
    En el segundo caso hay dos números a la derecha del punto decimal, esto quiere decir que el punto se colocará dos espacios a la izquierda del producto final.

Ejemplos:

A)
+
   2.3   x15 /   115   23   34.5
B)
+
   2.3  x1.5 /   115   23   3.45

El número rojo representa el desplazamiento del punto.

Ejercicios:

A)
    8.2    x16 / ?
B)
15.4  x .6 / ?
C)
11.82      x3 / ?
D)
  32.86        x5 / ?

Tabla de multiplicar

La siguiente tabla de multiplicar, es denominada tabla pitagórica. La primera fila y primera columna contienen los números que se van a multiplicar, en la intersección de cada fila y cada columna está el producto de la columna por la fila.

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7

0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Consideración Importante

Es importante considerar que al realizar una operación de multiplicación con sumas o restas, primeramente debe realizarse la multiplicación a menos que la suma o resta se encuentre dentro de un paréntesis, por ejemplo: 2 x 4 + 5 primeramente debemos hacer 2 x 4 = 8 y luego sumar 8 + 5 = 13, pero si colocáramos paréntesis a la anterior operación 2 x ( 4 + 5 ) primeramente debemos hacer la suma dentro del paréntesis 4 + 5 = 9 y posteriormente realizar la multiplicación 2 x 9 = 18. Se debe tener mucho cuidado ya que el resultado puede ser totalmente diferente.

Nota: Si una ecuación tiene signos de agrupación, se deben eliminar primeramente las llaves {}, posteriormente los corchetes [] y al último los paréntesis ().


Trucos para las multiplicaciones

A continuación se mencionan algunas técnicas que pueden ser de utilidad para facilitar las operaciones a realizar.

  • Añadir ceros:

    Cuando la multiplicación se lleva a cabo con múltiplos de 10, 100, 1000, etcétera, se multiplican los números diferentes de cero y se agregan los ceros necesarios.

    Ejemplos:

    2 x 10 = 20
    3 x 100 = 300
    23 x 10 = 230
    72 x 100 = 7200

Comprobar una multiplicación

La multiplicación se puede comprobar con su operación matemática inversa, ésta es la división. Para comprobar una multiplicación, se divide el resultado entre cualquier factor y de esta división se debe obtener el otro factor, indicando que la multiplicación fue correcta.

Ejemplo:

12 x5 / 60
60 /
5
= 12

Tomando el resultado de la multiplicación o producto (60) y dividiendo un factor (5) vamos a obtener de resultado del otro factor (12).


Multiplicación de fracciones

Para la realización de multiplicaciones de fracciones se debe hacer una multiplicación de los numeradores por los numeradores y aparte los denominadores por los denominadores.

Ejemplo:

4 / 3
x
2 / 3
=
4 x 2 / 3 x 3
=
8 / 9