X

Al usar esta página web, aceptas nuestro uso de cookies. Usamos cookies para ofrecerte una mejor experiencia y para ayudar a que tu página funcione de manera efectiva.

Matemáticas18

Números primos

Contenido

¿Qué son los números primos?

Los números primos son números naturales que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1.

Nota: El número 1, por convenio, no se considera número primo.


¿Cómo saber si un número es primo?

Existen diferentes formas para comprobar si un número es primo, a continuación enlistamos algunos métodos.

Primer método: Criba de Eratóstenes

  1. Ya que el número 2 es un número primo y es un número par, cualquier múltiplo de 2 no es un número primo, por lo tanto, todo número que termina en 0, 2, 4, 6 u 8 no es primo.
  2. Ya que el número 5 es un número primo y sus múltiplos siempre terminan en 0 u 5, por lo tanto, todo número que termina en 0 u 5 no es primo.
  3. Comprobar si la suma de los dígitos forman un número divisible por 3, si es divisible entre 3 se considera que no es un número primo.
  4. Ya que el número 7 es un número primo debemos calcular los múltiplos.
  5. Tenemos que continuar sucesivamente obteniendo los múltiplos de los siguientes números primos, el límite es cuando el número primo elevado al cuadrado supera el número máximo del cual queremos saber si es número primo.

Ahora vamos a conocer los números primos del 1 al 100 aplicando las anteriores 5 reglas y considerando por convenio que 1 no es un número primo.

  • Agrupando la regla 1 y 2 primeramente eliminamos los números que terminan en 2,4,5,6,8 y 0. [Color de marcado = rojo]
  • Los números que no fueron elimados se comprueba aplicando la regla 3, por lo tanto, si la suma de sus dígitos son divisibles entre “3” se elimina de la tabla. [Color de marcado = naranja]
  • Se obtiene los múltiplos del 7(considerando que sean menor a 100) y se eliminan de la tabla. Multiplos de 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. [Color de marcado = amarillo]
  • Ya que la tabla es hasta el número 100 debemos considerar que el número primo elevado al cuadrado al superar nuestro límite ya no se considera, en este caso 11 x 11 = 121, por lo tanto, 121 > 100 y todos los números que no fueron marcados son números primos.
  • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
    31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
    51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
    71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
    81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
    91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

    Números primos del 1 al 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

    Nota: Para conocer los números primos del 1 al 100 únicamente necesitamos calcular los múltiplos del 2,3,5 y 7.

Es posible simplificar el procedimiento para la Criba de Eratóstenes, debemos considerar los siguientes pasos:

  1. Todo número que termina en 0, 2, 4, 6 o 8 no es primo, excepto el número 2.
  2. Todo número que termina en 0 o 5 no es primo, excepto el número 5.
  3. Para encontrar los números primos de los siguientes números debemos elevar al cuadrado y posteriormente el número primo a evaluar se multiplica por dos, el resultado de la multiplicación se suma en secuencia para obtener los números que deben ser descartados, por ejemplo:
      El número 3, al elevar al cuadrado nos da el número 9 (9 se considera un número que no es primo), al multiplicar 3 x 2 = 6 y posteriormente hacer una secuencia de sumatoria obtenemos los números que debemos descartar de la criba: 9+6=15, 15+6=21, 21+6=27, 27+6=33 y así sucesivamente.
      El número 7, al elevar al cuadrado nos da el número 49(49 se considera un número que no es primo), al multiplicar 7 x 2 = 14 y posteriormente hacer una secuencia de sumatoria obtenemos los números que debemos descartar de la criba: 49+14 = 63, 63+14= 77, 77+14= 91

Nota: No es necesario encontrar los múltiplos antes del cuadrado del número primo, ya que fueron descartados por el o los números primos anteriores, por esa razón en el número 3 se inicia en el 9 y en el número 7 se inicia desde el 49.

Segundo método: Teorema de Wilson

El teorema de de Wilson menciona: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n.

(n - 1)! + 1 /
n

La ventaja de utilizar el teorema de Wilson es que podemos saber con facilidad si un número en especifico es primo, supongamos que queremos conocer si un número es primo, por ejemplo n = 12 y n = 13.

  • Para n = 12, sustituyendo en la formula del teorema de Wilson:
    (12 - 1)! + 1 /
    12
    = 3326400.083333

    El resultado tiene decimales por lo tanto se considera que el número no es primo.

  • Para n = 13, sustituyendo en la formula del teorema de Wilson:
    (13 - 1)! + 1 /
    13
    = 36846277

    El resultado es un número entero, por lo tanto, se considera un número primo.