Máximo común divisor (mcd)

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¿Qué es mcd?

De los divisores que tienen en común varios números naturales, al mayor de estos divisores se le conoce como máximo común divisor, también abreviado como mcd. En otras palabras, es el número mayor que divide exactamente a dos o más números.

Nota: Si se quiere obtener el mcd de un sólo número, el mcd va a corresponder al mismo número. Por ejemplo, los divisores de 15 son 1, 3, 5 y 15; por lo tanto, el mcd es 15.

¿Cómo obtener el máximo común divisor?

Para obtener el mcd es recomendable trazar una línea vertical en donde, a la izquierda de la línea están los números de los cuales queremos obtener el máximo común divisor.

A la derecha de la línea vamos a poner el número primo que va a dividir al número del cual queremos obtener el mcd.

Vamos a realizar un ejemplo para el cual empleamos el mismo procedimiento para 2 o más números, de los cuales se quiere obtener el máximo común múltiplo. Considerando como ejemplo obtener el mcd de 20 y 30.

1. Primeramente debemos hacer el trazado de una línea vertical y poner una separación entre los números a analizar, en este caso es el 20 y 30. Es muy importante tener un orden.

   20    30  

                

                

   Nota: Se trazó una línea tipo guión para poder visualizar cada etapa de las operaciones.

2. Se comprueba si los números a analizar son divisibles entre 2, observamos que los dos números 20 y 30 se pueden dividir entre 2, es importante considerar que para obtener el mcd los dos números deben ser divisibles y el resultado de la división debe ser entera (sin residuos), por lo tanto, el número 2 se coloca a la derecha de la línea y a la izquierda de la línea en la siguiente fila se coloca el resultado de la división.

   20    30  2

   10    15  

                

3. Nuevamente debemos comprobar si los dos números, ahora 10 y 15, son divisibles entre 2, como podemos observar el 10 si es divisible entre 2 pero el 15 no es divisible entre 2, por lo tanto, no es posible utilizar el número primo 2. Ya que no es posible dividir los dos números entre 2 pasamos al siguiente número primo que es 3, pero tampoco es posible dividir entre 3 los dos números (El número 15 si es posible dividir entre 3 sin tener residuo pero el número 10 no es posible dividir entre 3 ya que se tendría un resultado de 3.3333), por lo tanto, proseguimos al siguiente número primo que es 5. Como podemos observar tanto el 10 como el 15 son divisibles entre 5.

   20    30  2

   10    15  5

     2      3  

4. Cuando los resultados de los números a analizar(en este caso 2 y 3) ya no es posible dividir por el número primo más pequeño, en este caso 2(Ya que solo 2 es divisible entre 2), por lo tanto, ya es posible obtener el mcd al multiplicar los números a la derecha de la línea vertical. 2 x 5 = 10 Por lo tanto, el mcd de 20 y 30 es 10.

Ejemplos:

A)

8    6  2

4    3  

B)

15    18  3

  5      6  

C)

24    33  3

  8    11  

D)

42    18  2

21      9  3

  7      3  

El mcd sería:
A) 2
B) 3
C) 3
D) 2 x 3 = 6

Ejercicios:

¿Cuál es el máximo común divisor? mcd = ?
A)
  6    26    = ?
B)
  14    21    = ?
C)
  24    16    = ?
D)
  45    25    = ?
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Cálculo del mcd en una fracción

Suponiendo que tenemos la siguiente fracción:

Queremos simplificar la fracción o división, por lo tanto, debemos obtener el mcd de 18 y 22.

Primeramente debemos hacer el acomodo de los números para los cuales se requiera obtener el mcd, en este caso es 18 y 22, siguiendo el procedimiento para obtener el máximo común divisor el resultado fue el siguiente:

Como pueden observar el 11 es un número primo, pero el 9 entre 11 no resulta un número entero, por lo tanto, el mcd de 18 y 22 es 2.

Ahora que ya conocemos el mcd la fracción de simplifica:

Podemos comprobar al realizar la división de 18/22 = 0.818181 y 9/11 = 0.818181.